Né en 1982, Anaël Bonnet débute ses études musicales au conservatoire national de région de Montpellier, dans lequel il obtient les prix de piano, de musique de chambre et d'accompagnement au piano, dans les classes respectives de Sophie Grattard, Bernard Pozzera et Laetitia Bougnol.
En 2003, il entre au conservatoire national supérieur de musique et de danse de Lyon à l'unanimité, dans les classes de piano d'Edson Elias, assisté de Thierry Rosbach et d'accompagnement au piano de Michel Tranchant. Il travaille également avec Frank Krawzyck dans le cadre de ses études de musique de chambre.
En 2006, il obtient son diplôme national supérieur d'accompagnement au piano.
En 2004, il remporte le deuxième prix du concours international de piano Son Altesse Royale la Princesse Lalla Meryem, ainsi que le prix spécial de la Wilaya de Rabat-Salé-Zemmours-Zäers.
Au cours de ses études musicales, il bénéficie de l'enseignement de plusieurs pianistes, rencontrés lors de différentes classes de maître, tels que Hortense Cartier-Bresson, Martine Joste, Billy Eidi, Elizabeth Leonskaya, Nikolaï Lugansky et tout particulièrement André Gorog, avec lequel il anime maintenant l'académie d'été de Courchevel. Il travaille également avec les chanteurs François Le Roux et Udo Reinemann.
Il se produit régulièrement en concert en tant que soliste et chambriste à la cité de la musique de Paris, à Lyon (salle Molière, théâtre l'Embarcadère, amphithéâtre de l'opéra), à Montpellier (Opéra comédie, salle Molière), à Nuremberg, Turin, Rabbat, Bayreuth (Villa Wahnfried), au festivals d'Enghien-les Bains, Jeunes talents de Villers-sur-Mer, Rencontres musicales Annick Gauthier, festival de La Réole...